在数学分析中，柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是向量空间中一个非常重要的不等式，其应用范围广泛，包括线性代数、概率论和微积分等领域。本文将通过数量积的概念来证明这一经典不等式，并探讨在极坐标系下如何利用数量积进行计算。

首先，我们回顾一下数量积的基本定义。对于两个n维实向量\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)\)，它们的数量积定义为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \]

柯西-施瓦茨不等式的表述如下：对于任意两个n维实向量\(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)，有

\[ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \]

其中，\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}\) 是向量\(\mathbf{a}\)的欧几里得范数。

接下来，我们将利用数量积的性质来证明这一不等式。考虑函数\(f(t) = \|\mathbf{a} + t\mathbf{b}\|^2\)，其中\(t\)是一个实参数。展开得到：

\[ f(t) = (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) = \|\mathbf{a}\|^2 + 2t(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + t^2\|\mathbf{b}\|^2 \]

这是一个关于\(t\)的二次多项式，且始终非负，因为它是某个向量模平方的结果。因此，该多项式的判别式必须小于或等于零：

\[ [2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})]^2 - 4\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2 \leq 0 \]

简化后即得到柯西-施瓦茨不等式。

至于极坐标下的数量积求法，我们可以将其推广到二维平面中的向量表示。假设向量\(\mathbf{a}\)和\(\mathbf{b}\)分别以极坐标形式表示为\((r_1, \theta_1)\)和\((r_2, \theta_2)\)，则它们的数量积可以通过角度差计算：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \]

这种方法不仅简化了复杂度较高的直角坐标系下的运算，还提供了更直观的理解方式。例如，在物理问题中，这种表达方式常用于描述力与位移之间的关系。

综上所述，通过数量积的性质可以有效地证明柯西-施瓦茨不等式，并且在极坐标系下，数量积具有简洁而实用的表现形式。希望这些内容能够帮助读者更好地理解和运用这一基础但强大的数学工具。