【解析几何公式】解析几何是数学中一个重要的分支，它通过代数的方法来研究几何图形的性质和关系。解析几何的核心思想是将几何问题转化为代数问题，利用坐标系、方程和公式进行分析和计算。以下是对常见解析几何公式的总结与归纳。
一、点与直线
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 两点间距离公式 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ | 计算平面上两点之间的距离 |
| 中点公式 | $ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $ | 求两点的中点坐标 |
| 直线斜率公式 | $ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $ | 表示直线的倾斜程度 |
| 点斜式方程 | $ y - y_0 = k(x - x_0) $ | 已知一点和斜率求直线方程 |
| 斜截式方程 | $ y = kx + b $ | 已知斜率和截距的直线方程 |
| 一般式方程 | $ Ax + By + C = 0 $ | 直线的一般形式 |
二、圆与椭圆
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 圆的标准方程 | $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ | 圆心为 $(a, b)$，半径为 $r$ |
| 圆的一般方程 | $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ | 可化为标准方程的形式 |
| 椭圆的标准方程 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 中心为 $(h, k)$，长轴和短轴分别为 $2a$ 和 $2b$ |
三、直线与圆的位置关系
| 关系类型 | 判定方法 | 说明 |
| 直线与圆相交 | $ d < r $（圆心到直线的距离小于半径） | 有两个交点 |
| 直线与圆相切 | $ d = r $ | 有一个交点 |
| 直线与圆相离 | $ d > r $ | 没有交点 |
四、向量与点积
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||||
| 向量长度公式 | $ | \vec{v} | = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $ | 向量的模长 | ||
| 向量点积公式 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $ | 用于计算夹角或投影 | ||||
| 向量夹角公式 | $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } $ | 计算两个向量之间的夹角 |
五、抛物线与双曲线
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 抛物线标准方程 | $ y^2 = 4px $ 或 $ x^2 = 4py $ | 开口方向由 $p$ 的符号决定 |
| 双曲线标准方程 | $ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ | 中心为 $(h, k)$，实轴为 $2a$ |
六、空间解析几何（三维）
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 空间两点距离公式 | $ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $ | 三维空间中两点之间的距离 |
| 空间直线参数方程 | $ x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct $ | 用方向向量表示的直线方程 |
| 平面方程 | $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | 平面的一般方程形式 |
结语
解析几何公式是解决几何问题的重要工具，掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对几何图形的理解。在实际应用中，应根据具体问题选择合适的公式，并结合图形进行分析，以确保结果的准确性。
