【平面向量的外积是什么】在向量代数中，外积（Cross Product）是一个用于三维空间中两个向量相乘的结果，得到一个与原向量垂直的新向量。然而，在二维平面中，严格来说并不存在“外积”的概念，因为外积通常是在三维空间中定义的。不过，为了方便计算和应用，人们常常将二维向量的外积视为一种简化形式，其结果是一个标量，表示这两个向量所形成的平行四边形的面积。
以下是对“平面向量的外积”这一概念的总结与对比。
一、基本概念
| 概念 | 内容 |
| 外积 | 通常指三维空间中两个向量的叉积，结果是一个向量，方向垂直于原两向量所在的平面。 |
| 平面向量 | 仅包含x和y分量的向量，如：a = (a₁, a₂) |
| 二维外积 | 在二维中，常将两个向量的外积视为一个标量，代表由这两个向量构成的平行四边形的面积。 |
二、二维向量的外积公式
对于两个二维向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，它们的“外积”可以表示为：
$$
\text{a} \times \text{b} = a_1 b_2 - a_2 b_1
$$
这个结果是一个标量，也被称为“向量的叉积的z分量”，即在三维空间中，若将二维向量视为z=0的向量，则外积结果为：
$$
\text{a} \times \text{b} = (0, 0, a_1 b_2 - a_2 b_1)
$$
因此，二维外积实际上是三维外积在z轴上的投影。
三、外积的意义
| 项目 | 含义 |
| 标量值 | 表示两个向量所形成平行四边形的面积 |
| 正负号 | 表示向量的方向关系（顺时针或逆时针） |
| 零值 | 表示两个向量共线（即方向相同或相反） |
四、举例说明
| 向量a | 向量b | 外积值（a × b） | 几何意义 |
| (1, 2) | (3, 4) | 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2 | 面积为2，方向为顺时针 |
| (2, 3) | (5, 7) | 2×7 - 3×5 = 14 - 15 = -1 | 面积为1，方向为顺时针 |
| (0, 1) | (1, 0) | 0×0 - 1×1 = -1 | 面积为1，方向为顺时针 |
五、总结
虽然严格意义上，外积是三维空间中的运算，但在二维向量中，我们可以通过简化的方式计算其“外积”，即通过计算两个向量的行列式形式，得到一个标量值。这个值不仅能够表示两个向量所围成的平行四边形的面积，还能反映它们之间的相对方向。
因此，“平面向量的外积”实际上是一种对三维外积的简化应用，广泛应用于几何、物理和计算机图形学等领域。
