【期望的求法】在概率论与数理统计中，期望（Expectation）是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均取值的趋势。期望可以理解为一个随机变量所有可能取值的加权平均，权重是每个取值出现的概率。
本文将对期望的求法进行总结，并通过表格形式展示不同情况下的计算方法，帮助读者更清晰地理解和应用期望的概念。
一、期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
对于连续型随机变量，期望则用积分表示：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、期望的求法分类
根据随机变量的类型，期望的求法可以分为以下几种情况：
| 类型 | 随机变量 | 公式 | 说明 | ||
| 离散型 | $ X $ 取有限个值 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) $ | 每个取值乘以其概率后求和 | ||
| 连续型 | $ X $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续分布 | $ E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx $ | 积分形式，需知道概率密度函数 | ||
| 常见分布 | 如二项分布、泊松分布、正态分布等 | 各分布有特定期望公式 | 如：二项分布 $ E(X) = np $，正态分布 $ E(X) = \mu $ | ||
| 条件期望 | 给定事件 $ A $ 下的期望 | $ E(X | A) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i | A) $ | 在已知条件下的期望值 |
三、典型分布的期望公式
以下是几种常见分布的期望值：
| 分布名称 | 参数 | 期望 $ E(X) $ |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ \mu $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 指数分布 | $ \lambda $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、期望的性质
1. 线性性：$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $，其中 $ a, b $ 为常数。
2. 常数的期望：$ E(c) = c $，其中 $ c $ 为常数。
3. 独立变量的期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) $。
五、实际应用中的期望计算
在实际问题中，期望常用于风险评估、投资回报预测、游戏策略分析等领域。例如：
- 投资者可以通过计算某股票的期望收益率来判断是否值得买入；
- 游戏设计中，期望值可用于平衡游戏难度与奖励；
- 保险行业中，保险公司通过计算赔付的期望来制定保费。
总结
期望是概率论中一个基础且实用的概念，能够帮助我们从随机现象中提取出“平均”趋势。无论是离散型还是连续型随机变量，只要掌握了其概率分布或密度函数，就可以通过相应的公式计算出期望值。掌握不同分布的期望公式，有助于我们在实际问题中快速做出决策和分析。
附录：常见分布期望一览表
| 分布 | 期望公式 |
| 二项分布 | $ np $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu $ |
| 均匀分布 | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 指数分布 | $ \frac{1}{\lambda} $ |
