【三角函数的变换公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了更方便地进行计算和分析，人们总结了许多三角函数的变换公式。这些公式不仅有助于简化表达式，还能帮助我们解决复杂的三角问题。
以下是一些常见的三角函数变换公式，并以表格形式进行总结，便于查阅和记忆。
一、基本恒等式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 基本恒等式 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 与正切和余割的关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 与余切和正割的关系 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 负角公式 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 负角公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 补角公式 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 补角公式 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 补角公式 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 补角公式 |
| $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | 周期公式 |
| $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ | 周期公式 |
三、和差角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦的和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦的和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ | 正弦的倍角公式 |
| $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $ | 余弦的倍角公式 |
| $ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ | 正切的倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 描述 |
| $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ | 正弦的半角公式 |
| $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ | 余弦的半角公式 |
| $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} $ | 正切的半角公式 |
六、积化和差与和差化积
| 公式 | 描述 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 积化和差 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 积化和差 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
| $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
总结
三角函数的变换公式是学习和应用三角函数的基础内容，掌握这些公式有助于提高解题效率，理解函数之间的内在联系。通过合理运用这些公式，可以将复杂的表达式简化，从而更清晰地分析和解决问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
