【数学期望常用公式总结】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的“平均值”或“中心位置”。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，数学期望都有其对应的计算方法和应用公式。本文对常见的数学期望公式进行系统性总结，便于学习和查阅。
一、基本概念
数学期望（Expected Value）：设 $ X $ 是一个随机变量，其数学期望记作 $ E(X) $，表示在大量重复试验中，$ X $ 的平均取值。
- 离散型随机变量：若 $ X $ 取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应概率为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
- 连续型随机变量：若 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见的概率分布及其对应的数学期望：
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 0-1 分布（伯努利分布） | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $，$ k = 0, 1 $ | $ p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b - a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 $ Geom(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $，$ k = 1, 2, \dots $ | $ \frac{1}{p} $ |
三、数学期望的性质
数学期望具有以下重要性质，适用于任何随机变量：
1. 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性下的乘积期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 期望的非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
5. 期望的单调性：若 $ X \leq Y $，则 $ E(X) \leq E(Y) $
四、应用场景
数学期望广泛应用于以下几个领域：
- 金融投资：评估投资组合的预期收益；
- 保险精算：计算保费与赔付的期望；
- 机器学习：用于损失函数的优化；
- 工程可靠性分析：预测设备寿命或故障时间的平均值；
- 统计推断：作为参数估计的基础。
五、注意事项
- 数学期望是“平均”意义上的指标，不能完全代表数据的集中趋势；
- 对于某些分布（如柯西分布），数学期望可能不存在；
- 在实际应用中，应结合方差、标准差等其他统计量综合分析。
通过以上总结，我们可以更清晰地理解数学期望的基本概念、常用分布的期望表达式以及其在实际问题中的应用价值。掌握这些知识有助于我们在数据分析、概率建模等领域做出更加科学的判断与决策。
