在数学的世界里，三角函数是连接几何与代数的重要桥梁。今天，让我们一起探讨一个有趣的问题：sin105°究竟等于多少？

一、从已知到未知

我们知道，三角函数的定义基于角度和单位圆的关系。而105°这个角度位于第二象限，这意味着它的正弦值（sin）为正值。然而，105°并不是常见的特殊角（如30°、45°或60°），因此我们需要借助一些技巧来求解。

二、分解角度，化繁为简

通过观察可以发现，105°可以被拆分为两个更简单的角度之和：

\[

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

\]

利用三角函数的加法公式：

\[

\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

\]

将a设为60°，b设为45°，则有：

\[

\sin 105^\circ = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ

\]

三、代入已知值

根据特殊角的三角函数值：

- \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

- \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

代入上述公式：

\[

\sin 105^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

\]

四、化简计算

继续进行乘法运算并合并同类项：

\[

\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

\]

\[

\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\]

五、总结答案

最终，我们得到了sin105°的精确值：

\[

\boxed{\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}

\]

六、数学的魅力

这一过程不仅展示了如何利用基本公式解决问题，还体现了数学中分解与重组的思想。通过对复杂问题的逐步简化，我们可以找到优雅的答案。这种思维方式，无论是在学习还是生活中，都具有重要的启发意义。

希望这篇文章能帮助你更好地理解三角函数的本质，并激发对数学的兴趣！如果你还有其他关于三角函数的问题，欢迎随时提问哦~