【三角形的外接圆公式是什么】在几何学中，三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的圆。这个圆的圆心称为三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点。外接圆的半径通常用 $ R $ 表示，计算外接圆半径的公式是解决许多几何问题的关键。
以下是关于三角形外接圆公式的总结与相关公式整理：
一、三角形外接圆的基本概念
- 外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
- 外心：外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。
- 外接圆半径（$ R $）：从外心到三角形任意一个顶点的距离。
二、外接圆半径的计算公式
根据三角形的边长和面积，可以使用以下几种方法来计算外接圆半径 $ R $：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 1. 边长与面积法 | $ R = \frac{a b c}{4 S} $ | $ a, b, c $ 为三角形的三边，$ S $ 为面积 |
| 2. 正弦定理法 | $ R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C} $ | $ A, B, C $ 为对应角，$ a, b, c $ 为对边 |
| 3. 坐标法 | $ R = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}{\sin^2 A} } $ | 适用于已知坐标时的计算 |
三、外接圆的其他性质
- 外心是三角形的垂直平分线交点。
- 在锐角三角形中，外心位于三角形内部。
- 在直角三角形中，外心位于斜边的中点。
- 在钝角三角形中，外心位于三角形外部。
四、应用举例
例如，若一个三角形的三边分别为 $ a = 5 $、$ b = 6 $、$ c = 7 $，且其面积为 $ S = 14.7 $，则外接圆半径为：
$$
R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 14.7} = \frac{210}{58.8} \approx 3.57
$$
五、总结
三角形的外接圆公式主要用于计算外接圆的半径，是几何学中重要的工具之一。通过边长、角度或坐标信息，可以灵活运用不同的公式进行计算。掌握这些公式有助于理解三角形的几何特性，并在实际问题中加以应用。
如需进一步了解内切圆或其他相关公式，可继续查阅相关资料。
